犯人自首後直接進看守所嗎

不是。
自首是指犯罪後自動投案，向公安、司法機關或其他有關機關如實供述自己的罪行的行為。
一般的都去公安機關自首，公安機關對自首的犯罪分子經過訊問以後發現犯罪事實，認為有必要先行拘留的，應當拘留，拘留後，應當立即將被拘留人送看守所羈押。

法律依據

《中華人民共和國刑法》第六十七條
犯罪以後自動投案，如實供述自己的罪行的，是自首。對於自首的犯罪分子，可以從輕或者減輕處罰。其中，犯罪較輕的，可以免除處罰。被採取強制措施的犯罪嫌疑人、被告人和正在服刑的罪犯，如實供述司法機關還未掌握的本人其他罪行的，以自首論。犯罪嫌疑人雖不具有前兩款規定的自首情節，但是如實供述自己罪行的，可以從輕處罰；因其如實供述自己罪行，避免特別嚴重後果發生的，可以減輕處罰。