双方是否都可以认定寻衅滋事罪

不是的，要看是否有构成寻衅滋事罪的行为。
寻衅滋事罪，是指肆意挑衅，随意殴打、骚扰他人或任意损毁、占用公私财物，或者在公共场所起哄闹事，严重破坏社会秩序的行为。它的表现形式主要有：
1、随意殴打他人，情节恶劣的。
殴打，是指对他人行使有形力，造成他人身体痛苦的行为。换言之，殴打相当于国外刑法中的狭义的暴行。亦即，殴打应是直接对人的身体行使有形力。
2、追逐、拦截、辱骂、恐吓他人，情节恶劣的。
对于追逐、拦截、辱骂他人造成他人轻微伤、轻伤结果或者导致他人自杀的，使用凶器追逐、拦截他人的，多次追逐、拦截、辱骂他人的，追逐、拦截残疾人、儿童等弱势群体的，应当认定为情节恶劣。
3、强拿硬要或者任意损毁、占用公私财物，情节严重的。
强拿硬要，是违背他人意志强行取得他人财物的行为，既可以表现为夺取财物，也可以表现为迫使他人交付财物。对其中的财物宜作广义解释，即包括财产性利益。
4、在公共场所起哄闹事，造成公共场所秩序严重混乱的。
对起哄闹事行为是否造成公共秩序严重混乱的判断，应以行为时的全部具体状态为根据。公共场所的性质、公共场所活动的重要程度、进入公共场所的人数、起哄闹事的时间、公共活动受影响的范围与程度等，是判断行为是否造成公共秩序严重混乱的重要资料。
《中华人民共和国刑法》第二百九十三条　【寻衅滋事罪】有下列寻衅滋事行为之一，破坏社会秩序的，处五年以下有期徒刑、拘役或者管制：
（一）随意殴打他人，情节恶劣的；
（二）追逐、拦截、辱骂、恐吓他人，情节恶劣的；
（三）强拿硬要或者任意损毁、占用公私财物，情节严重的；
（四）在公共场所起哄闹事，造成公共场所秩序严重混乱的。
纠集他人多次实施前款行为，严重破坏社会秩序的，处五年以上十年以下有期徒刑，可以并处罚金。